一、教學目標

　　【知識與技能】

　　進一步了解角平分線的性質和判定，能夠證明角平分線的性質和判定定理并且會運用角平分線性質去解決問題。

　　【過程與方法】

　　通過對“角平分線性質”的探究，提高分析問題、解決問題的能力。

　　【情感態度與價值觀】

　　通過一系列的證明過程，體驗數學活動充滿著探索性和創造性，增強學習數學的興趣和勇于創新的精神。

　　二、教學重難點

　　【重點】

　　證明角平分線的性質和判定。

　　【難點】

　　靈活運用角平分線性質解決問題。

　　三、教學過程

　　(一)設置情境問題，搭建探究平臺

　　問題l:習題1.8的第1題作三角形的三個內角的角平分線，你發現了什么?能證明自己發現的結論一定正確嗎?

　　于是，首先證明“三角形的三個內角的角平分線交于一點” .

　　當然學生可能會提到折紙證明、軟件演示等方式證明，但最終，教師要引導學生進行邏輯上的證明。

　　(二)展示思維過程，構建探究平臺

　　已知：如圖，設△ABC的角平分線.BM、CN相交于點P，

　　證明：P點在∠BAC的角平分線上.

　　證明：過P點作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足.

　　∵BM是△ABC的角平分線，點P在BM上，

　　∴PD=PE(角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等).

　　同理：PE=PF.

　　∴PD=PF.

　　∴點P在∠BAC的平分線上(在一個角的內部，且到角兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上).

　　∴△ABC的三條角平分線相交于點P.

　　在證明過程中，我們除證明了三角形的三條角平分線相交于一點外，還有什么“附帶”的成果呢?

　　(PD=PE=PF，即這個交點到三角形三邊的距離相等.)

　　于是我們得出了有關三角形的三條角平分線的結論，即定理三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等.

　　下面我通過列表來比較三角形三邊的垂直平分線和三條角平分線的性質定理

　　問題2

　　如圖：直線l1、l2、l3表示三條相互交叉的公路，現要建一個貨物中轉站，要求它到三條公路的距離相等，則可選擇的地址有幾處?你如何發現的?

　　要求學生思考、交流。實況如下：

　　[生]有一處.在三條公路的交點A、B、C組成的△ABC三條角平分線的交點處.因為三角形三條角平分線交于一點，且這一點到三邊的距離相等.而現在要建的貨物中轉站要求它到三條公路的距離相等.這一點剛好符合.

　　[生]我找到四處.(同學們很吃驚)除了剛才同學找到的三角形ABC內部的一點外，我認為在三角形外部還有三點.作∠ACB、∠ABC外角的平分線交于點P1(如下圖所示)，我們利用角平分線的性質定理和判定定理，可知點P1在∠CAB的角平分線上，且到l1、l2、l3的距離相等.同理還有∠BAC、∠BCA的外角的角平分線的交點P3;因此滿足條件共4個，分別是P、P1、P2、P3

　　教師講評。

　　(三)例題講解

　　[例1]如圖，在△ABC中.AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E.

　　(1)已知CD=4 cm，求AC的長;

　　(2)求證：AB=AC+CD.

　　分析：本例需要運用前面所學的多個定理，而且將計算和證明融合在一起，目的是使學生進一步理解、掌握這些知識和方法，并能綜合運用它們解決問題.第(1)問中，求AC的長，需求出BC的長，而BC=CD+DB，CD=4 cIn，而BD在等腰直角三角形DBE中，根據角平分線的性質，DE=CD=4cm，再根據勾股定理便可求出DB的長.第(2)問中，求證AB=AC+CD.這是我們第一次遇到這種形式的證明，利用轉化的思想AB=AE+BE，所以需證AC=AE，CD=BE.

　　(1)解：∵AD是△ABC的角平分線，

　　∠C=90°，DE⊥AB.

　　∴DE=CD=4cm(角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等).

　　∵∠AC=∠BC ∴∠B=∠BAC(等邊對等角).

　　∵∠C=90°，

　　∴∠B=1/2×90°=45°.

　　∴∠BDE=90°—45°=45°.

　　∴BE=DE(等角對等邊).

　　在等腰直角三角形BDE中

　　BD=2DE2.=4 2 cm(勾股定理)，

　　∴AC=BC=CD+BD=(4+42)cm.

　　(2)證明：由(1)的求解過程可知，

　　Rt△ACD≌Rt△AED(HL定理)

　　∴AC=AE.

　　∵BE=DE=CD，

　　∴AB=AE+BE=AC+CD.

　　[例2]已知：如圖，P是么AOB平分線上的一點，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別為C、D.

　　求證：(1)OC=OD;

　　(2)OP是CD的垂直平分線.

　　證明：(1)P是∠AOB角平分線上的一點，PC⊥OA，PD⊥OB，

　　∴PC=PD(角平分線上的點到角兩邊的距離相等).

　　在Rt△OPC和Rt△OPD中，

　　OP=OP，PC=PD，

　　∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL定理).

　　∴OC=OD(全等三角形對應邊相等).

　　(2)又OP是∠AOB的角平分線，

　　∴OP是CD的垂直平分線(等腰三角形“三線合一”定理).

　　思考：圖中還有哪些相等的線段和角呢?

　　(四)課時小結

　　本節課我們利用角平分線的性質和判定定理證明了三角形三條角平分線交于一點，且這一點到三角形各邊的距離相等.并綜合運用我們前面學過的性質定理等解決了幾何中的計算和證明問題.

　　(五)課后作業

　　習題1.9第1、2題

　　四、板書設計

　　角平分線性質

　　定理：角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等。

　　定理：在一個角的內部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。

　　五、教學反思

　　以上就學數學《角平分線性質》教學設計，希望能對考生有所幫助!